| ABの中点をCとし、DはOC上にありOD=1である点とすると、 面積が最大になる時の円の中心Pは線分CD上のどこかになります。 (∵PがDからCDの延長方向、あるいはCからDCの延長方向に 移動すると明らかに面積が小さくなる) CP=x(0≦x≦√2-1)のとき、円がABを切り取る線分の長さは2√(1-x^2)、 OA及びOBを切り取る線分の長さは√{(4√2)x-2x^2}であり 前者は減少関数、後者は増加関数だから AB側にはみ出た部分の面積の減り方と OA,OB側にはみ出た部分の面積の増え方が等しいときに 共通部分の面積が最大になる。 xが凅増えた時にAB側にはみ出た部分の面積は凅・2√(1-x^2)減り、 OA,OB側にはみ出た部分の面積は合計で(√2)凅・√{(4√2)x-2x^2}増えるから、 凅・2√(1-x^2)=(√2)凅・√{(4√2)x-2x^2}を解いて得られる x=√2/4のときに面積が最大となり、その面積は π-∫[√2/4〜1]2√(1-x^2)dx-2∫[3/4〜1]2√(1-x^2)dx =√7/2+arctan(√7/5)
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