数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 判別式 / Page: 0]

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■48731 / inTopicNo.1)

　判別式

□投稿者/ 男子400mリレー一般人(1回)-(2018/08/29(Wed) 22:00:59)

x^2+y^2≠0をみたす任意の実数x,yに対して、常に
x^2+y^2≠(ax+by)^2+(cx+dy)^2
が成り立つための実数a,b,c,dに関する必要十分条件を
α:=ad-bc,　β:=a^2+b^2+c^2+d^2
を用いて表せ。

この問題なのですが、たぶん二次方程式の判別式を使うだけだとは思うのですが、
二次の係数が0かそうでないかで場合分けしているうちによく分からなくなってしまいました。
詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

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■48733 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 判別式

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□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2018/08/29(Wed) 22:57:16)

(a^2+c^2-1)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2-1)y^2≠0
y=0のときにx≠0である解を持たないためにはa^2+c^2-1≠0が必要。
よって常にxの二次式と考えてよい。
D/4={(ab+cd)y}^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)y^2
={(ab+cd)^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)}y^2
=(β-α^2-1)y^2
y≠0,β-α^2-1＜0のとき解を持たないが、
β-α^2-1＜0すなわち
(ab+cd)^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)＜0
ならば
(ab+cd)^2＜(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)
なのでa^2+c^2-1≠0も成り立ち、
y=0のときも条件を満たす。
よって求める必要十分条件はβ-α^2-1＜0。

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■48746 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 判別式

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□投稿者/ 男子400mリレー一般人(2回)-(2018/08/30(Thu) 11:50:09)

思っていたより複雑でした
ありがとうございました

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