 | 曲線
x^2+y^2=K
が直線
6x+9y=54
に接する時
K=324/13
接点(36/13,54/13)
曲線
4(Log[2,x])^3+(Log[2,y]-1)^3=k
が双曲線
xy=8
に接する時
接点を(x,y)
X=Log[2,x]
Y=Log[2,y]
とすると
xy=8
y+xy'=0
xy'=-y
Xlog2=logx
X'log2=1/x
xX'log2=1
Ylog2=logy
Y'log2=y'/y
yY'log2=y'
yY'=xy'X'
4X^3+(Y-1)^3=k
12X'X^2+3Y'(Y-1)^2=0
4X'X^2+Y'(Y-1)^2=0
4yX'X^2+yY'(Y-1)^2=0
4yX'X^2+xy'X'(Y-1)^2=0
4yX^2+xy'(Y-1)^2=0
Y=Log[2,y]
↓y=2^3/xだから
Y=Log[2,2^3/x]=3-X
4yX^2+xy'(Y-1)^2=0
↓xy'=-y,Y=3-Xだから
4yX^2-y(2-X)^2=0
4X^2-(2-X)^2=0
4X^2-X^2+4X-4=0
3X^2+4X-4=0
(X+2)(3X-2)=0
X=-2.又は.X=2/3
Log[2,x]=-2.又は.Log[2,x]=2/3
x=1/4.又は.x=2^{2/3}
x=1/4の時
y=32=2^5
X=Log[2,2^{-2}]=-2
Y=Log[2,2^5]=5
k
=4(-2)^3+(5-1)^3
=64-32
=32
x=2^{2/3}の時
y=2^{7/3}
X=Log[2,2^{2/3}]=2/3
Y=Log[2,2^{7/3}]=7/3
k
=4(2/3)^3+(7/3-1)^3
=32/27+64/27
=32/9
k=32
の時接点(x,y)=(1/4,32)
k=32/9
の時接点(x,y)=(2^{2/3},2^{7/3})
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