| 1から1000まで書かれたカードが1枚ずつある その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ とするとき、 全場合の数は 1000C2=1000*999/2=500*999=499500
1≦Q<P≦1000 1/1000<1/Q≦1 1<P/Q≦1000
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log_10(3) となる時
1<P/Q<10の時 [log10(P/Q)]=0 log10(P/Q)<log_10(3) 1<P/Q<3 Q+1≦P≦3Q-1 Q+1≦P≦1000 1≦Q≦999
1≦Q≦333の時,Q+1≦P≦3Q-1,の2Q-1通り 334≦Q≦999の時,Q+1≦P≦1000,の1000-Q通り だから Σ_{Q=1〜333}(2Q-1)+Σ_{Q=334〜999}(1000-Q) 通り
10≦P/Q<100の時 [log10(P/Q)]=1 log10(P/Q)<1+log_10(3)=log_10(10)+log_10(3)=log_10(30) 10≦P/Q<30 10Q≦P<30Q 10Q≦P≦30Q-1 10Q≦P≦min(30Q-1,1000) 10Q≦1000 1≦Q≦100
1≦Q≦33の時10Q≦P≦30Q-1の20Q通り 34≦Q≦100の時10Q≦P≦1000の1001-10Q通り だから Σ_{Q=1〜33}20Q+Σ_{Q=34〜100}(1001-10Q) 通り
100≦P/Q<1000の時 [log10(P/Q)]=2 log10(P/Q)<2+log_10(3)=log_10(100)+log_10(3)=log_10(300) 100≦P/Q<300 100Q≦P<300Q 100Q≦P≦min(300Q-1,1000) 100Q≦P≦1000 1≦Q≦10
1≦Q≦3の時100Q≦P≦300Q-1の200Q通り 4≦Q≦10の時100Q≦P≦1000の1001-100Q通り だから Σ_{Q=1〜3}200Q+Σ_{Q=4〜10}(1001-100Q) 通り
P/Q=1000の時 [log10(P/Q)]=3 log10(P/Q)<3+log_10(3)=log_10(1000)+log_10(3)=log_10(3000) P/Q=1000<3000 Q=1,P=1000 の 1 通り
Σ_{Q=1〜333}(2Q-1)+Σ_{Q=334〜999}(1000-Q) +Σ_{Q=1〜33}20Q+Σ_{Q=34〜100}(1001-10Q) +Σ_{Q=1〜3}200Q+Σ_{Q=4〜10}(1001-100Q) +1 = 2Σ_{Q=1〜333}Q-333+Σ_{n=1〜666}n +20Σ_{Q=1〜33}Q+Σ_{Q=34〜100}{10(101-Q)-9} +200Σ_{Q=1〜3}Q+Σ_{Q=4〜10}{100(11-Q)-99} +1 = 333*334-333+333*667 +10*33*34-9(100-33)+10Σ_{Q=34〜100}(101-Q) +100*3*4-99(10-3)+100Σ_{Q=4〜10}(11-Q) +1 = 333*333+333*667 +10*33*34-9*67+10Σ_{n=1〜67}n +100*3*4-99*7+100Σ_{n=1〜7}n +1 = 333(333+667) +10*33*34-9*67+10*67*68/2 +100*3*4-99*7+100*7*8/2 +1 = 333*1000 +10*33*34-9*67+10*67*34 +100*3*4-99*7+100*7*4 +1 = 333000 +340(33+67)-603 +1200-693+2800 +1 = 333000 +34000-603 +4000-693 +1 = 371000-1296+1 = 369705 通り
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log10(3) となる確率は
369705/499500 = 24647/33300≒0.74
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