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■45210 / inTopicNo.1) 　Re[2]: 三角関数
  ▼■
□投稿者/ めじろ 一般人(4回)-(2013/05/31(Fri) 07:25:24)
    ありがとうございました。
    よくわかりました。
解決済み!
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■45204 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 三角関数
□投稿者/ らすかる 付き人(57回)-(2013/05/29(Wed) 22:57:55)
    ちょっと雑ですが
    g(x)=f(x)-(x-2)=xcos(π/x)-(x-2) とおくと
    g(1)=g(2)=0
    また
    g''(x)=-π^2cos(π/x)/x^3
    1≦x＜2 のとき g''(x)＞0 なので下に凸
    x=2 のとき g''(x)=0
    2＜x のとき g''(x)＜0 なので上に凸
    そして lim[x→∞]g(x)=2
    よって
    1≦x＜2 のとき g(x)≦0, g(x+1)≧0 なので g(x+1)-g(x)≧0
    x≧2 のとき g(x)は単調増加なので g(x+1)-g(x)≧0
    よって f(x+1)-f(x)={g(x+1)+(x-1)}-{g(x)+(x-2)}=g(x+1)-g(x)+1≧1
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■45203 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 三角関数
□投稿者/ ペンギン 一般人(8回)-(2013/05/29(Wed) 20:40:23)
    2013/05/29(Wed) 20:41:09 編集(投稿者)

    >WIZさん

    いつも計算をチェックして下さり、ありがとうございます。
    仰る通り、g'(x) = x*cos(x)ですね。

    >めじろさん

    x≦π/2でしかg'(x)≧0が成り立たないので、私の方法では
    x≧2の場合でしかf(x+1)-f(x)≧1を示せていません。

    ですので、私の回答は無視ししてください。
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■45201 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 三角関数
□投稿者/ WIZ 一般人(37回)-(2013/05/29(Wed) 19:27:02)
    > ペンギンさん
    > 0≦x≦πでg(x) = cosx + xsinx - 1に対し、g(x)≧0が成り立つことを示します。
    > g'(x)=sinx≧0

    計算間違いをしています。g'(x) = x*cos(x)です。

    x = 0で、g(0) = 0
    0 < x < π/2で、g'(x) > 0なので、g(x)は増加。
    x = π/2で、g'(x) = 0なので、g(x) = π/2-1 > 0は極大。
    π/2 < x < πで、g'(x) < 0なので、g(x)は減少。
    x = πで、g(x) = -2

    上記から、π/2 < a < πとなる実数aが存在し、a < x < πならばg(x) < 0です。
    よって、0 ≦ x ≦ πでg(x) ≧ 0は成立しません。
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■45200 / inTopicNo.5) 　Re[1]: 三角関数
□投稿者/ ペンギン 一般人(7回)-(2013/05/29(Wed) 18:29:10)
    仰る通り、平均値の定理を使えば解くことができます。

    STEP1

    0≦x≦πでg(x) = cosx + xsinx - 1に対し、g(x)≧0が成り立つことを示します。

    g'(x)=sinx≧0
    g(0)=0なのでg(x)≧0 //


    STEP2
    x≧1でf'(x)≧1となることを示します。
    f'(x)=cos(π/x)+π/x・sin(π/x)なので、X=π/xと置くと、
    0<X≦πであり、f'(x)=cosX + XsinX = g(X) + 1
    STEP1の結果より、g(X)≧0なので、f'(x)≧1 //

    STEP3

    平均値の定理より題意が成り立つことを示します。
    平均値の定理より、
    x<h<x+1 なるhに対し、f(x+1)-f(x)=f'(h)が成り立ちます。
    1<hなので、STEP2の結果より、f(x+1)-f(x)≧1 //

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■45199 / inTopicNo.6) 　三角関数
□投稿者/ めじろ 一般人(3回)-(2013/05/29(Wed) 07:10:04)

    とおくと、

    が成り立つそうなのですが、どうやって示すのでしょうか…
    平均値の定理だと思ったのですが、なかなか解けないです。
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