 | a[n]＞1 ならば a[n+1]-a[n]={(a[n])^2-a[n]+1}-a[n]=(a[n]-1)^2＞0 だから、
{a[n]} は狭義単調増加数列。
a[n+1]/a[n]={(a[n])^2-a[n]+1}/a[n]=a[n]-1+1/a[n]
={√(a[n])-√(1/a[n])}^2+1≧{√(a[1])-√(1/a[1])}^2+1 だから
n≧2 のとき a[n]＞{{√(a[1])-√(1/a[1])}^2+1}^(n-1)
よって Σ[n=1〜∞](1/a[n])＜a[1]+Σ[n=2〜∞]{1/{{√(a[1])-√(1/a[1])}^2+1}^(n-1)}
なので収束する。
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