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■43178 / inTopicNo.1)  図形の体積(重積分)
  
□投稿者/ ハイネ 一般人(1回)-(2010/12/19(Sun) 19:32:43)
    次の図形の体積を求めよ
    (1)   x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3) < a^(2/3)
    (2) 0<x+y<1 , 0<y+z<1 , 0<z+x<1

    入力に慣れていないため読みづらくてすいません。『<』は、上記のいずれも『=』が下につきます。
    何とぞお願いいたします。


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■43180 / inTopicNo.2)  Re[1]: 図形の体積(重積分)
□投稿者/ X 一般人(35回)-(2010/12/20(Mon) 11:05:35)
    (2)
    問題の図形は
    点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
    を頂点とする四面体になります。
    ですので単に体積を求めるだけなら重積分は不要で
    求める体積をVとすると
    V=(1/3)(1/2)・1・1・1=1/6
    となります。
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■43181 / inTopicNo.3)  Re[1]: 図形の体積(重積分)
□投稿者/ X 一般人(36回)-(2010/12/20(Mon) 11:39:55)
    (1)
    求める体積をVとすると、問題の図形がxy平面に関して対称であることから
    V=2∬[D]{a^(2/3)-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)dxdy
    (D:x^(2/3)+y^(2/3)≦a^(2/3))
    ここで
    x^(1/3)=rcosθ
    y^(1/3)=rsinθ
    と置くと
    x=(rcosθ)^3
    y=(rsinθ)^3

    ∂x/∂r=(3r^2)(cosθ)^3
    ∂x/∂θ={-3sinθ(cosθ)^2}r^3
    ∂y/∂r=(3r^2)(sinθ)^3
    ∂y/∂θ={3cosθ(sinθ)^2}r^3
    ∴ヤコビヤンをΔとすると
    Δ=(9/4)(r^5)(sin2θ)^2
    また
    D:0≦r≦a^(1/3)
    が対応し
    V=2∫[r:0→a^(1/3)]∫[θ:0→2π]{{a^(2/3)-r^2}^(3/2)}{(9/4)(r^5)(sin2θ)^2}dθdr
    =(9/2)∫[r:0→a^(1/3)](r^5){{a^(2/3)-r^2}^(3/2)}dr
    ・∫[θ:0→2π]{(sin2θ)^2}dθ
    =…

    注)
    ∫[r:0→a^(1/3)](r^5){{a^(2/3)-r^2}^(3/2)}dr
    については、a^(2/3)-r^2=Rと置きましょう。
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■43185 / inTopicNo.4)  Re[2]: 図形の体積(重積分)
□投稿者/ ハイネ 一般人(2回)-(2010/12/20(Mon) 19:49:48)
    ご回答感謝します。
    (1)に関しては、ご指摘がありましたように「四面体」ではなく「平行六面体」の一種ではないかと思います。
    いずれにせよ、こんなに速くご回答いただけるとは思いませんでしたので、大変嬉しいです。ありがとうございます。
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■43187 / inTopicNo.5)  Re[1]: 図形の体積(重積分)
□投稿者/ パナ 一般人(1回)-(2010/12/20(Mon) 22:38:23)
    (2) 0<x+y<1 , 0<y+z<1 , 0<z+x<1
    y+z=2s
    z+x=2t
    x+y=2u  とすると   0<s,t,u<1/2
    x=-s+t+u
    y=s-t+u
    z=s+t-u
    (x,y,z)=s(-1,1,1)+t(1,-1,1)+u(1,1,-1)

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■43197 / inTopicNo.6)  Re[1]: 図形の体積(重積分)
□投稿者/ X 一般人(37回)-(2010/12/21(Tue) 15:45:36)
    2010/12/21(Tue) 15:47:03 編集(投稿者)

    >>ハイネさんへ
    ごめんなさい。No.43180についてですが私の早とちりでした。
    この内容については無視して下さい。
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