| 2010/10/31(Sun) 12:00:16 編集(投稿者)
■No42906に返信(kさんの記事) > AB=a,AD=AE=1である直方体ABCD-EFGHと、直線AGに垂直な平面αがある。 > 頂点B,C,D,E,F,Hからαに下ろした垂線とαとの交点をそれぞれB',C',D',E',F', > H'とするとき、六角形B'C'D'E'F'H'の面積S(a)をaを用いて表し、 > lim S(a) を求めよ。 > a→∞
六角形は,B'C'D'H'E'F' になるとおもいます。
方針(ベクトルによる) ↑AB=↑b,↑AD=↑d,↑AE=↑e とおく。 ↑AG=↑b+↑d+↑e に対して 頂点B,C,D,E,F,Hから下ろした垂線の足を B'',C'',D'',E'',F'',H'' とおく。 このとき,↑B''B=↑AB-↑AB''=↑AB-k↑AG として ↑AG・↑B''B=0 より ↑AG・(↑AB-k↑AG)=0, … k=, … ↑B''B=, … |↑B''B|= 以下同様に,↑C''C=, |↑C''C|=,↑D''D=, |↑D''D|= と求める。 (対称性より↑E''E=-↑C''C,↑F''F=-↑D''D,↑H''H=-↑B''B) さらに,↑B''B・↑C''C,↑C''C・↑D''D,↑D''D・↑H''H を求める。
平面αと直線AGの交点をA'とおく。 平面α上の六角形B'C'D'H'E'F'について △A'B'C'=1/2・√{|↑B''B|^2|↑C''C|^2-(↑B''B・↑C''C)^2}= 以下同様に,△A'C'D'=,△A'D'H'= と求める。 このとき,六角形の面積 S(a)=2(△A'B'C'+△A'C'D'+△A'D'H')= よって,lim[a→∞] S(a)=
lim[a→∞] S(a)= 3 になると思います(ちょっと自信なし)。
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