| はじめまして。ベクトル空間の初心者なのですが、いまひとつ意味が 分かっていないようで、次の問題の意味と解答の意味が理解できず困って います。
正の実数の集合 R+={x∈R|x>0} がR 上のベクトル空間となるように, 和(+)とスカラー倍(*) を定義せよ。 (公理を満たしていることを示す必要はありませんが, 零ベクトルと, x∈R+ の逆ベクトルが何かを答えて下さい). また, そのベクトル空間の次元と1 組の基底を求めよ(こちらは証明を与えて下さい)。
というものです。その解答が以下なのですが・・・
和(+) t,s∈R+に対しt+s:=ts(実数の積) スカラー倍(*) λ∈R,t∈R+に対しλ*t:=t^λ(実数のべき乗)
と定めると, R(+) は1 が零ベクトルであり, x の逆ベクトルが1/x であるようなベクトル空間となる。 R+ のベクトル2を考えると, 任意のR+のベクトルx は x = (log_2[x])*2 (底が2で真数xの対数にさっき定義したスカラー倍です) と書けるので, {2} はR+ を生成する. {2} が1 次独立なことは明らかなので, 結局,上の演算で定めたベクトル空間R+ は{2} を基底とする1 次元のベクトル空間となる。
まず分からないのは、なぜあのような定義になるのかということです。抽象的な ベクトル空間の話では、どの参考書にも和とスカラー倍の定義が書いてありまし たが、この問題のようなものは見たことがありません。勝手に決めていいのですか。 それから、なぜ零ベクトルと逆ベクトルがこのようになるのか分かりません。 x>0となっているのに零ベクトルってなんですか。 本当に数学できない頓馬なので許してほしいのですが、式もないのにどうやって 次元や基底を求めているのかもさっぱり分かりません。「R+ のベクトル2を考えると・・・」とありますが、なぜそのような発想になるのでしょうか。
独学で勉強しているため周りに聞くことのできる人がいないので困っています。 ご教授願います。
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