数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 不定積分 / Page: 0]

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■36636 / inTopicNo.1)

　不定積分

▼■

□投稿者/ まるこ一般人(1回)-(2008/11/02(Sun) 23:13:03)

1/((x^2+1)^(1/2))の積分の仕方を教えてください。
お願いします。

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■36638 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不定積分

▲▼■

□投稿者/ のぼりん一般人(1回)-(2008/11/03(Mon) 10:44:05)

以下、積分定数を無視します。公式 $2$ \cosh ^2 u - \sinh ^2 u = 1$ を使うと、被積分関数分母を上手く処理そうなので、
$2$ \begin{eqnarray*} & x = \sinh u = \frac{e^u - e^{ - u} }{2} \end{array}$
とおきます。 $2$ dx = \cosh u \cdot du$ なので、
$2$ \begin{eqnarray*} & \displaystyle\int {\frac{dx}{\sqrt {x^2 + 1} }} & = & \displaystyle\int {\frac{\cosh u}{\sqrt {\sinh ^2 u + 1} }du} = \displaystyle\int {du} \\ & & = & u = \sinh ^{ - 1} x = \log \left| {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right| \\ \end{array}$
です。

双曲三角関数をご存じなければ、多少技巧的ですが、
$2$ \begin{eqnarray*} & y = x + \sqrt {x^2 + 1} \end{array}$
とおきます。これは、 $2$ \log y = \sinh ^{ - 1} x$ とおいていることに他なりません。
$2$ \begin{eqnarray*} & \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{x}{\sqrt {x^2 + 1} } = \frac{\sqrt {x^2 + 1} + x}{\sqrt {x^2 + 1} } = \frac{y}{\sqrt {x^2 + 1} } \\ & \frac{dx}{\sqrt {x^2 + 1} } = \frac{dy}{y} \end{array}$
です。よって、
$2$ \begin{eqnarray*} & \displaystyle\int {\frac{dx}{\sqrt {x^2 + 1} }} & = & \displaystyle\int {\frac{dy}{y}} = \log \left| y \right| \\ & & = & \log \left| {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right| \\ \end{array}$
です。

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