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■36634 / inTopicNo.1) 　幾何学の問題
  ▼■
□投稿者/ あゆみ 一般人(1回)-(2008/11/02(Sun) 22:09:53)
    r>0とする。

    X[r]={(x,y) l x^(2)+y^(2)=r^(2)}
    Y={(x,y) l lxl≦1, lyl≦1, (x^(2)-1)(y^(2)-4)=0}

    とするとき、χ(X[r]∪Y)を求めなさい。

    という問題なのですが、どなたか分かる方いますか？

    あと最後のχ(X[r]∪Y)のχは「カイ」です。

    宜しくお願いします。
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■36635 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 幾何学の問題
□投稿者/ miyup 大御所(641回)-(2008/11/02(Sun) 23:12:21)
    ■No36634に返信(あゆみさんの記事)

    疑問点

    > Y={(x,y) l lxl≦1, lyl≦1, (x^(2)-1)(y^(2)-4)=0}

    (x^(2)-1)(y^(2)-4)＝0 より x＝±1 または y＝±2 となりますが…
    この式はこれでいいのですか？

    > とするとき、χ(X[r]∪Y)を求めなさい。

    χ(　)…カイとは何のことですか？
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■36637 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 幾何学の問題
□投稿者/ あゆみ 一般人(2回)-(2008/11/02(Sun) 23:36:29)
    Y={(x,y) l lxl≦1, lyl≦1, (x^(2)-1)(y^(2)-4)=0}
    の式なのですが、もう一回見てみたのですがこれであっています；

    あとカイはギリシャ文字のχです。
    分かりにくくてすみません；
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■36639 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 幾何学の問題
□投稿者/ のぼりん 一般人(2回)-(2008/11/03(Mon) 10:52:16)
    横から失礼します。
    miyup 先生は χ がギリシャ文字のカイであることは当然ご存じであり、χ（・） という関数はどの様な関数か、というご確認をされているのだと思います。
    χ は数学的に特別な意味を持つ訳ではなく、この儘では回答不能となるため、貴兄に前提を説明いただく必要がある訳です。
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■36645 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 幾何学の問題
□投稿者/ あゆみ 一般人(5回)-(2008/11/03(Mon) 18:43:33)
    2008/11/03(Mon) 18:44:13 編集(投稿者)

    ちょっと前提というのが分からないのですが・・・
    調べなおしてみたら、似たような問題がありました。

    r>0とする。
    X={(x,y) l lxl≦1, lyl≦1, (x^(2)-1)(y^(2)-1)=0}、
    Y[r]={(x,y) l x^(2)+y^(2)=r^(2)}
    とするとき、X∪Y[r]のオイラー標数を求めなさい。

    という問題で、
    X,Y[r]も円と同相なので、χ(X)=χ(Y[r])=0である、
    (1)0<r<1または√2<r
    (2)r=1
    (3)1<r<√2
    (4)r=√2
    と場合わけして、χ(K∪L)=χ(K)+χ(L)-χ(K∩L)
    という公式を使って解いていくみたいなんです；

    宜しくお願いします。

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■36666 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 幾何学の問題
□投稿者/ のぼりん 一般人(3回)-(2008/11/04(Tue) 21:06:10)
    2008/11/04(Tue) 21:50:28 編集(投稿者)

    再び横から失礼します。

    ＞　ちょっと前提というのが分からないのですが・・・
    広辞苑第五版によれば、「前提」とは、「ある物事をなす土台となるもの」とのことです。　私もその意味で用い、問題の出典、どういう脈絡で出題されたか、χ（・） の定義は、等々をご教示いただければと思っていました。 その願いは叶いませんでしたが、χ（・） がオイラー標数らしいという察しはつきました。

    ただし、他の前提は依然として不明で、たとえば貴兄のオイラー標数の定義すらわかりません。 しかし、これ以上確認作業を行うのも非効率と思われますので、オイラー標数とはベッチ数の交代和であるとか、不明点は適当に解釈して回答することとします。 そのため、貴兄の意図に必ずしも沿わない回答となる可能性がありますが、ご了解下さい。

    また、miyup 先生の仰るとおり、問題文が不自然ですが、再確認されたとのことなので信じるしかないでしょう。 とすれば、Ｙ＝｛±１｝×〔−１，１〕 になります。

    この前提で、Ｘ〔ｒ〕∪Ｙ を単体分割してホモロジー群を求め、ベッチ数を計算すると、
    ０＜ｒ≦１ のとき、

    ｒ＞１ のとき、

    となりました。 ホモロジー群のところの同型記号は、\cong が効かなかったので ＝ で代用しました。 計算は苦手で自信ありませんので、ご自分で十分お確かめ下さい。
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■36671 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 幾何学の問題
□投稿者/ サボテン 大御所(314回)-(2008/11/05(Wed) 11:46:38)
    2008/11/05(Wed) 12:05:25 編集(投稿者)

    のぼりん様

    おっしゃるとおり
    0<r<1, √2<rの計算は
    H_0(X(r)∪Y)=Z^3
    H_1(X(r)∪Y)=Z
    となり、χ(X(r)∪Y)=2
    になると思います。

    それ以外の場合ですが、ホモロジー群の計算が面倒なので、
    χ(Y)=2,χ(X(r))=0を用いて、χ(K∪L)=χ(K)+χ(L)-χ(K∩L)
    の公式を用いますと、
    r=1ではχ(X(r)∩Y)は0単体が2点なので、χ(X(r)∪Y)=0
    1<r≦√2では、χ(X(r)∩Y)の0単体が4点なので、χ(X(r)∪Y)=-2

    とならないでしょうか?
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■36683 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 幾何学の問題
□投稿者/ のぼりん 一般人(4回)-(2008/11/05(Wed) 23:06:11)
    あ。 場合分けが全然駄目でしたね。 無能振りを露呈してしまいました。 （＞。＜）

    ０＜ｒ＜１ または １＞√２ のとき、Ｘ〔ｒ〕 と Ｙ は輪１つと孤立線分２つだから、

    ｒ＝１ のときは、輪１つだから、

    １≦ｒ≦√２ のとき、穴が３つの連結輪になるので、

    ですね。 誠に失礼しました。
    サボテンさん、ご指摘いただきありがとうございました。
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