| nを自然数、x,yを整数として、n = x^2+y^2とします。 既に証明した通り、pが4k+3型の素数で、nがpで割り切れるのならば、GCM(x,y) > 1です。
対偶を取れば、GCM(x,y) > 1でないのならば、nの因数に4k+3型の素数は無いと言えます。 # 「GCM(x,y) > 1でない」は「GCM(x,y) = 1である」と等価です。
GCM(x,y) = g > 1とします。x = Xg, y = Ygとおくと、GCM(X,Y) = 1です。 n = (g^2)(X^2+Y^2)となります。
GCM(X,Y) = 1ですから、X^2+Y^2の因数に4k+3型の素数はありません。 よって、pはg^2の約数、すなわちpはgの約数ということになります。 以上から、nはp^2(正確にはpの偶数乗)で割り切れると言えます。
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