数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ4 を表示中)

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 親記事をトピックトップへ ]

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

■34956 / inTopicNo.1)  零集合の命題の解説で分からない箇所があります
  
□投稿者/ kana 一般人(1回)-(2008/08/10(Sun) 09:46:36)
    こんにちは

    inf{Σ[k=1..∞]|I_k|∈R;∪[k=1..∞]I_k⊃Z} (I_kは区間) を集合Zの外測度と定義する。
    外測度が0となる集合を零集合という。

    [Lemma] Zが零集合⇔0<∀ε,∃{I_k}; Z⊂∪[k=1..∞]I_k且つΣ[k=1..∞]|I_k|<ε
    [Theorem] (a,b)⊃Zが零集合⇔
    0<∀ε,
    A:={{f^ε_n};{f^ε_n}は非負値を採る単関数の増加列(f^ε_1(x)≦f^ε_2(x)≦…≦f^ε_n(x)≦…),∫[a..b]f^ε_n(x)dx<ε,sup{f^ε_n(Z);n∈N}≧1}≠φ

    [Proposition] 単調増加な単関数列{f_n}が与えられた時,
    ∫[a..b]f_ndx≦M<∞ ⇒ {f_n}はa.e.で有限な極限を持つ。
    [proof]
    f_n-f_1を考える事により,初めからf_n≧0としてよい。
    xを決めると数列{f_n(x)}は有限な極限を持つか無限大に発散するからである。
    Z:={x∈(a,b);lim[n→∞]f_n(x)=+∞}とおく。x∈Zを決めると∀ε>0に対し,
    あるnから先で常にf_n(x)≧M/ε.即ち
    x∈Z⇒sup(εf_n(x)/M)≧1.
    所で ∫[a..b]εf_n(x)/Mdx=ε/M∫[a..b]f_n(x)dx≦ε
    よって単関数列 {εf_n(x)/M}は上のTheoremを満たしているのでZは零集合となる。(終)

    という解説なのですが

    「f_n-f_1を考える事により,初めからf_n≧0としてよい。
    xを決めると数列{f_n(x)}は有限な極限を持つか無限大に発散するからである」

    がいまいち分かりません。どうして∀x∈(a,b),f_n(x)≧0と出来るのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



トピック内ページ移動 / << 0 >>
Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター