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■34717
/ inTopicNo.1)
Re[4]: 置換積分
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□投稿者/ 豆
付き人(61回)-(2008/07/28(Mon) 17:11:38)
更に横から。どうでもよいと言えば、どうでも良いのですが、
何故、こんなことになっているかちょっと補足を。
最初に出てきたXさんの解き方は、先見えで格好の良い
解き方だと思います。答えの形もすっきり。
ところが、模範解答とは異なっていた。これは解説されている
とおり定数分だけの差が原因です。
さて、こうなったのは模範解答の解き方が異なるためです。
三角関数を含んだ有理関数は、tan(x/2)=tと置くことにより、
tの有理関数となり、その積分は初等関数で表すことができる
ことが分かっています。
模範解答はこの置き換えで解いています。従って、答えには
tan(x/2)のみはいった形になっています。
遠回りかもしれませんが、確実に出来る方法です。
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■34711
/ inTopicNo.2)
Re[3]: 置換積分
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□投稿者/ WIZ
軍団(130回)-(2008/07/28(Mon) 09:10:58)
横から失礼します。
> ログの部分をどう変形していくか教えてください!
(cos(a))^2+(sin(a))^2 = 1と言う関係式は知ってますよね?
上記の両辺を(cos(a))^2で割ると
1+(sin(a))^2/(cos(a))^2 = 1/(cos(a))^2
⇒ 1+(tan(a))^2 = 1/(cos(a))^2
⇒ 1/(1+(tan(a))^2) = (cos(a))^2
となります。
上記の関係式を使うと
1+cos(x) = 2*(cos(x/2))^2 = 2*(1/(1+(tan(x/2))^2)
となります。
よって
log(1+cos(x)) = log(2/(1+(tan(x/2))^2)) = log(2)-log(1+(tan(x/2))^2)
となります。
不定積分の(らすかるさんの計算)結果がtan(x/2)+log(1+cos(x))+Cですから、
tan(x/2)+log(1+cos(x))+C = tan(x/2)+{log(2)-log(1+(tan(x/2))^2)}+C
= tan(x/2)-log(1+(tan(x/2))^2)+(C+log(2))
ここでC+log(2)は定数なので、積分定数としてA = C+log(2)とおくと
tan(x/2)-log(1+(tan(x/2))^2)+Aと解答(?)通りの式に変形できます。
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■34701
/ inTopicNo.3)
Re[3]: 置換積分
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□投稿者/ らすかる
大御所(378回)-(2008/07/27(Sun) 22:45:26)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
「答えが tan(x/2)-log(1+(tan(x/2))^2) にならないといけない」
ということはありません。積分は方法によって別の形の答えになることがあります。
tan(x/2)+log(1+cosx)+C のままで正解ですし、tan(x/2)-log(1+(tan(x/2))^2) よりも
形が綺麗ですので、tan(x/2)-log(1+(tan(x/2))^2) に変形する必要は全くありません。
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■34697
/ inTopicNo.4)
Re[2]: 置換積分
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□投稿者/ yuki
一般人(2回)-(2008/07/27(Sun) 21:43:47)
答えが タンジェント二分のX、-log(1+(tanx/2)^2)にならないといけないのですが、ログの部分をどう変形していくか教えてください!
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■34691
/ inTopicNo.5)
Re[1]: 置換積分
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□投稿者/ X
大御所(268回)-(2008/07/27(Sun) 17:50:59)
∫(1-sinx)/(1+cosx) dx
=∫dx/(1+cosx)+∫(-sinx)/(1+cosx) dx
=∫dx/{2(cos(x/2))^2}+∫(-sinx)/(1+cosx)dx
=tan(x/2)+log(1+cosx)+C
(C:任意定数)
となります。
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■34680
/ inTopicNo.6)
置換積分
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□投稿者/ yuki
一般人(1回)-(2008/07/27(Sun) 14:27:13)
∫(1-sinx)/(1+cosx) dx の解き方を教えてください!
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