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■40748
/ inTopicNo.1)
高校数学≪図形≫
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□投稿者/ あきら
一般人(1回)-(2010/02/03(Wed) 21:05:02)
≪問題≫aを正の定数として,座標平面上に
円C:(x-a)^2+y^2=36
放物線C':y=x^2がある。
(1)C'とCが共有点をもたないようなaの範囲を求めよ。
(2)点PがC'上,点QがC上を動くとき,線分PQの長さの最小値が24となるようなaの値を求めよ。
解き方を教えてください^^
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■40790
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 高校数学≪図形≫
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□投稿者/ すっとこどっこい
軍団(101回)-(2010/02/06(Sat) 13:12:15)
2010/02/06(Sat) 14:30:12 編集(投稿者)
少し見づらいかもしれませんが、グラフの図を添付しますので、参考にして下さい。
赤色は共有点を2個もつ場合、緑色は接する場合((1)の場合)、青色は共有点をもたない場合((2)の場合)
それぞれの円Cの位置となります。
(1)
円Cの中心をC(a, 0)(a>0)とし、a=a0のときに円Cが放物線C'に接するとすると、
aの値と、円Cと放物線C'の共有点の個数の関係は次のようになる。
i) 0<a<a0のとき、円Cと放物線C'の共有点は2個存在する。
ii) a=a0のとき、円Cと放物線C'の共有点は1個存在する。
iii) a>a0のとき、円Cと放物線C'の共有点は存在しない。
円Cの中心をC(a, 0)とし、a=a0のときに円Cが放物線C'に点P(t, t^2)(t>0)で接するとする。
点Pを通る放物線C'の接線はy=2tx−t^2なので、この接線とx軸の共有点をA(t/2, 0)とし、
点Pから線分ACへ垂線を引いたとき、その垂線と線分ACとの交点をH(t, 0)とする。
直角三角形AHPと直角三角形PHCは相似なので、AH:PH=PH:CHより、
t/2:t^2=t^2:a0−tとなり、t>0なので、a0−t=2t^3…@となり、
直角三角形PHCの辺CPは円Cの半径なので、CP=√(PH^2+CH^2)より、
6=√{(t^2)^2+(a0−t)^2}なので、t^4+(a0−t)^2=36…Aとなる。
@をAに代入すると、t^4+(2t^3)^2=36より、4t^6+t^4−36=0となり、
この式はu=t^2(>0)とおくと、4u^3+u^2−36=0となる。
f(u)=4u^3+u^2−36とおくと、f(2)=4・2^3+2^2−36=0より、
f(u)はu−2を因数にもつので、f(u)=(u−2)(4u^2+9u+18)となり、
4u^2+9u+18=4(u+9/8)^2+207/16>0なので、
f(u)=0を満たすu(>0)の値はu=2となり、t>0なので、t=√2となる。
t=√2を@に代入することにより、a0=2t^3+t=2・(√2)^3+√2=5√2となる。
a0の値とiii)より、円Cと放物線C'が共有点をもたないようなaの範囲は、a>5√2である。
(2)
放物線C'上を動く点Pと円C上を動く点Qを結ぶ線分PQの長さの最小値が24となるとき、
3つの点P, Q, Cがこの順で同一直線上に存在し、PQ=24, CQ=6なので、(1)と同様に、
AH:PH=PH:CHより、t/2:t^2=t^2:a−tとなり、t>0なので、a−t=2t^3…Bとなり、
CP=√(PH^2+CH^2)より、30=√{(t^2)^2+(a−t)^2}なので、t^4+(a−t)^2=900…Cとなる。
BをCに代入すると、t^4+(2t^3)^2=900より、4t^6+t^4−900=0となり、
この式はu=t^2(>0)とおくと、4u^3+u^2−900=0となる。
g(u)=4u^3+u^2−900とおくと、g(6)=4・6^3+6^2−900=0より、
g(u)はu−6を因数にもつので、g(u)=(u−6)(4u^2+25u+150)となり、
4u^2+25u+150=4(u+25/8)^2+1775/16>0なので、
g(u)=0を満たすu(>0)の値はu=6となり、t>0なので、t=√6となる。
t=√6をBに代入することにより、a=2t^3+t=2・(√6)^3+√6=13√6となる。
したがって、放物線C'上の動点Pと円C上の動点Qの距離PQの長さの最小値が24となるとき、a=13√6である。
641×321 => 250×125
40748.gif
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■40791
/ inTopicNo.3)
Re[1]: 高校数学≪図形≫
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□投稿者/ 堪
一般人(1回)-(2010/02/06(Sat) 15:16:41)
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No40748
に返信(あきらさんの記事)
> (2)点PがC'上,点QがC上を動くとき,線分PQの長さの最小値が24となるようなaの値を求めよ。
>
({X, Y} - {x, y}).({X, Y} - {x, y})=24^2,
(x - a)^2 + y^2 = 36,
Y = X^2,
-a + X = k (-x + X), Y = k (-y + Y),
-2*X = K*(X - a), 1 = (K*Y)
を解いて 適する解は
{a, x, y, X, Y, k, K}=
{13*Sqrt[6],(53*Sqrt[6])/5,6/5,Sqrt[6],6,5/4,1/6}。
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