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■37118
/ inTopicNo.1)
Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ 134no
一般人(1回)-(2008/12/08(Mon) 03:48:48)
VをC上の有限次元線形空間とせよ(Cは複素数体)。そしてA:V→Vを線形写像とせよ。
Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ。
という問題です。
取り合えず固有値が0だというのだからAx=0と書けると思います。
それからどうすればA^r=Oが導けますでしょうか?
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■37119
/ inTopicNo.2)
Re[1]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ サボテン
大御所(336回)-(2008/12/08(Mon) 08:29:22)
2008/12/08(Mon) 08:30:07 編集(投稿者)
ケーリーハミルトンの定理より、λ_iを固有値とすると一般に
Π_i(A-λ_iE)=0 (Eは単位行列)
今全ての固有値が0なので、A^r=0となります。
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■37126
/ inTopicNo.3)
Re[2]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ 134no
一般人(3回)-(2008/12/09(Tue) 12:11:44)
ありがとうございます。
> ケーリーハミルトンの定理より、
Aとλの固有多項式をf_A(λ)=Σ[i=0..n]a_iλ^iとするとf_A(A)=Oという定理ですよね。
> λ_iを固有値とすると一般に
> Π_i(A-λ_iE)=0 (Eは単位行列)
どこからこの式が出て来るのでしょうか?
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■37129
/ inTopicNo.4)
Re[3]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ xy
一般人(17回)-(2008/12/09(Tue) 20:15:27)
> どこからこの式が出て来るのでしょうか?
固有多項式そのもの
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■37134
/ inTopicNo.5)
Re[4]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ 134no
一般人(5回)-(2008/12/11(Thu) 09:49:58)
>> どこからこの式が出て来るのでしょうか?
> 固有多項式そのもの
固有多項式はdet(A-λI)ではないでしょうか。。。?
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■37135
/ inTopicNo.6)
Re[5]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ サボテン
大御所(337回)-(2008/12/11(Thu) 10:21:44)
固有多項式はxを変数とすると、確かにdet(A-xI)ですが、
これを因数分解すると、Π_i(x-λ_i)となります。
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■37141
/ inTopicNo.7)
Re[6]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ 134no
一般人(6回)-(2008/12/12(Fri) 03:53:47)
ありがとうございます。
> 固有多項式はxを変数とすると、確かにdet(A-xI)ですが、
> これを因数分解すると、Π_i(x-λ_i)となります。
マジですか。
det(A-xI)=
|a_11-x,a_12,…,a_n1|
|a_21,a_22-x,…,a_n2|
:
|a_n1,a_n2,…a_nn-x|
これを
=
|a'_11,a'_12,…,a'_n1|
|a'_21,a'_22,…,a'_n2|
:
|a'_n1,a'_n2,…a'_nn|
と置くと
=Σ[σ∈S_n]sng(σ)a_1σ(1)a_2σ(2)…a_nσ(n)
でこれからどうやって
=Π[i=1..n](x-λ_i)
になりましょうか?
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■37142
/ inTopicNo.8)
Re[7]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ xy
一般人(18回)-(2008/12/12(Fri) 08:36:26)
固有多項式の根が固有値なんだから因数定理から自明
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■37154
/ inTopicNo.9)
Re[8]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ
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□投稿者/ 134no
一般人(7回)-(2008/12/13(Sat) 14:13:34)
> 固有多項式の根が固有値なんだから因数定理から自明
det(A-xI)=0の解がλ_1,λ_2,…,λ_nだから
det(A-xI)=Π[i=1..n](x-λ_i)と書ける筈なのですね。
ありがとうございます。
解決済み!
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