| 2008/10/01(Wed) 21:44:56 編集(投稿者)
■No36087に返信(すき焼きさんの記事) > 座標平面に2点A(1,0,1),B(0,1,1)がある。平面z=0に含まれる円x^2+y^2=1上を点Pが動くとき、三角形ABPの面積Sの最小値を求めよ。
P(x,y,0)とおくと、x^2+y^2=1…@ ↑PA=(1-x,-y,1),↑PB=(-x,1-y,1) より S=1/2・√{|↑PA|^2|↑PB|^2-(↑PA・↑PB)^2} ←@を適用しつつ計算 =1/2・√{(3-2x)(3-2y)-(2-x-y)^2} =1/2・√{2xy-2(x+y)+4} ここで@より (x+y)^2=1+2xy すなわち 2xy=(x+y)^2-1 から S=1/2・√{(x+y)^2-2(x+y)+3} =1/2・√{(x+y-1)^2+2} ≧1/2・√2 等号成立は、x+y=1 すなわち (x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0) のときである 以上より、Sの最小値は√2/2
図から考えても、AB(=√2) を底辺と見れば 点P が 点A または 点B の「真下」にあるとき △PAB の高さが最小(=1)になって、最小値S=√2/2 となります。
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