 | c=f(c) を満たす定数cに収束するような気がするので、
|x[n]-c| が0に収束することを証明します。
|x[n+1]-c|=|f(x[n])-f(c)|=|∫[c,x[n]]f'(t)dt|
≦|∫[c,x[n]](1/2)dt|≦1/2|x[n]-c|
これより、|x[n]-c|≦(1/2)^(n-1)*|x[1]-c|→0 です。
ところで、cの存在証明ですが
g(x)=f(x)-xとおいて
g(x)は連続、g(0)≧0-0＝0、g(1)≦1-1＝0 より
区間[0,1]にg(c)=0となる実数cが存在します。
しかも、ただ1つです。
c≠d でf(c)=c、f(d)=d と仮定すると
1＝{f(c)-f(d)}/(c-d)＝∫[d,c]f'(t)dt/(c-d)≦1/2(c-d)/(c-d)=1/2 矛盾
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