| 空間ベクトルですね。図なしですがうまく伝わるか。 点P(a,b,c)とする。 ↑OP=↑OA+α↑AB+β↑AC は何を意味するか。 OからPへ行く道筋を考えると,Pは↑OAに乗っかって点Aに行きます。そこから α↑AB+β↑ACで移動するのですが,
平面ベクトルで習った考え方を使います。 平行でも0ベクトルでもない2つのベクトル↑a,↑bを使えば,平面上のすべてのベクトルをm↑a+n↑bという1通りの表し方ができる。
これと同じことで,α,βがどんな値でもAからα↑AB+β↑ACで移動すれば平面ABC 上のどこかにPは来るということです。
Oを頂点にする三角すいO-ABCをかいてみればわかりますが,|↑OP|が最小になるときってちょうどOPが三角すいの高さ(OP⊥平面ABC)のような状態のときです。
ここからが内積 ↑OP=(a,b,c)は↑AB=(4,5,6),↑AC=(1,1,1)にともに垂直だから, 4a+5b+6c=0 a+b+c=0 未知数3個で式が2個では値はわかりませんが,比なら出せます。 aを消去してb=-2c,bを消去してa=c よって,↑OP=(c,-2c,c)となる。 これを初めの式に当てはめると (c,-2c,c)=(6,2,4)+α(4,5,6)+β(1,1,1) 今度は未知数3個でも式が3個作れますからc,α,βがわかります。
こちらの計算では,c=1,α=1,β=-9となりました。 ↑OP=(1,-2,1)より,|↑OP|=√6
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