数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 関数を求める / Page: 0]

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■24720 / inTopicNo.1)

　関数を求める

□投稿者/ sizu 一般人(1回)-(2007/05/09(Wed) 14:54:57)

微分可能な関数y=f(x)が、区間0≦x≦1で正の値をとり、次の2条件(1)、(2)を満たすとする。
(1)f(0)=2、f(1)=1
(2)0≦a≦x≦1である任意のaとxに対して、4点A(a,f(a))、B(a,0)、C(x,0)、D(x,f(x))を頂点とする四角形ABCDの面積と、関数y=f(x)のグラフと線分AB、BCおよびCDで囲まれる部分の面積との比がaとxによらず一定である。
このような関数y=f(x)を求めよ。

解法が全然思い浮かびません。詳しく教えていただけないでしょうか？お願いします。

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■24730 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関数を求める

▲▼■

□投稿者/ けにい軍団(123回)-(2007/05/10(Thu) 00:50:23)

四角形 ABCD は台形なので面積は S1 = 1/2 (f(x) + f(a))(x - a) です。
もう一方の図形の面積は S2 = ∫[a→x] f(t) dt です。したがって、ある
定数 k が存在して S1 = k S2 となればよいので、積分方程式

1/2 (f(x) + f(a))(x - a) - k ∫[a→x] f(t) dt = 0 ･･･ (1)

が成立します。両辺を x で微分すれば

1/2 f'(x)(x - a) + 1/2 (f(x) + f(a)) - k f(x) = 0
⇒ f'(x) + ((1 - 2k)/(x - a)) f(x) = -f(a)/(x - a)

なる微分方程式が得られます。これを解くと

k ＝ 1/2 ⇒ f(x) = -f(a) log(x - a) + C
k ≠ 1/2 ⇒ f(x) = f(a)/(2k - 1) + C (x - a)^(2k-1) ･･･ (2)

となります。

ここで k = 1/2 と仮定すると a ≦ x なので x → 0 のとき a → 0 であり、
f(x) → ∞ となり矛盾です。また、k < 1/2 と仮定すると、x → a のとき
f(x) が有限値であるためには C = 0 となる必要があります。すると f は
定数値関数となり境界条件に矛盾します。

そこで k > 1/2 と仮定すると、x → 0 のとき a → 0 であり、式(2)から
f(0) = f(0)/(2k - 1) となるので k = 1 であることが分かります。また
1 = f(1) = f(0) + C (1 - 0) = 2 + C から C = -1 が得られます。更に
1 = f(1) = f(a) - (1 - a) から

f(x) = 2 - x ･･･ (3)

が得られます。実際、関数(3)は k = 1 のとき、式(1)を満たすので(3)が解
となります。

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