 | 無限級数{a[n]}に対し、
S[n]=Σ[k=1→n]a[k] (n≧1)で定まる数列{S[n]}の極限値αが存在するとき、無限級数Σ[n=1→∞]a[n]は収束するといい、αをこの無限級数の和といい、
Σ[n=1→∞]a[n]=α
と表す。
このときlim[n→∞]S[n]が存在しないときには、どうしてΣ[n=1→∞]a[n]は発散するのですか？
問題
次の無限級数の収束、発散を調べ、収束する時はその和を求めよ。
２−３/２＋３/２−４/３＋４/３−５/４＋･･････(＊)
とあり、
「第ｎ項をa[n]、初項から第ｎ項までの和をS[n]とする。
a[2n-1]=n+1/n a[2n]=-a[2n-1] (n≧1)だからn≧1のとき
S[2n+1]=a[1]=2→2 (n→∞のとき)
S[2n]=S[2n+1]-a[2n+1]=2-n+2/n+1→2-1=1 (n→∞のとき)」
ここまではわかったのですが、このあとの
「よってlim[n→∞]S[2n+1]≠S[2n]であるから無限級数(＊)は発散する。」
がわかりません。
教えてください。お願いします。
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