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Re[1]: 数列の問題です
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□投稿者/ ウルトラマン 大御所(278回)-(2007/04/26(Thu) 00:40:19)
![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | TalLさん,こんばんわ.
> 次の和Sを求めよ > > S=2^n-1+2x2^n-2+3x2^n-3+・・・・+(n-1)x2+n > > > 等差数列x等比数列の問題です。 > nをどのように処理したらよいか全く分かりません。 > よろしくお願いします。
「等差数列×等比数列」型の数列の和の求め方には,定石がありまして,それは 「公比をかける」 です.この問題の場合ですと,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
S%20=%202^{n-1}+2%5ccdot%202^{n-2}%20+%203%5ccdot%202^{n-3}+%20%5ccdots%20+(n-1)%5ccdot%202^{%5c{n-(n-1)%5c}}+%5ccdots%20+n%5ccdot%202^{n-n}
) とおくと,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
2S%20=2^{n}+%202%5ccdot%202^{n-1}+3%5ccdot%202^{n-2}+%5ccdots%5cquad%20+n%5ccdot%202^{1}
) ですから,辺々引き算して,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
2S-S%20%5c%5c
=2^{n}+2^{n-1}+%5ccdots%20+%202%20-%20n%20%5c%5c
=%5cfrac{2(2^{n}-1)}{2-1}-n%20%5c%5c
=2^{n+1}-2-n
) つまり,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
S%20=%202^{n+1}-2-n
) となることが分かります.
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