![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | けいこさん,こんばんわ.
> ∠A=60°の鋭角三角形ABCの外心をO、内心をIとする。4点O,I,B,Cは一つの円周上にあることを証明せよ。 > > こういう問題なんですがどう書けばいいのかわかりません。 > なんとなく図を描けばわかりますが「なぜ」かがわかりません。。。 > > 私立中の3年生です。 > > 教えてください
ポイントは,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cangle{BOC}=%5cangle{BIC}
) を示すことになるかと思います.これが示せれば円周角の定理の逆より, は同一円周上にあることになります.では,示して見ましょう.
円周角の定理より,
……@
また, は内心であることから,
……A
……B ABを,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cangle{B}+%5cangle{C}=180-60=120) つまり,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cangle{IBC}+%5cangle{IBA}+%5cangle{ICB}+%5cangle{ICA}=120) に代入すると,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$2%5ctimes%20%5cangle{IBC}+2%5ctimes%20%5cangle{ICB}=120)
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5ctherefore%20%5cangle{IBC}+%5cangle{ICB}=60) であるから,
……C
@Cより,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cangle{BOC}=%5cangle{BIC}(=120)) となり,円周角の定理の逆より, 点 は同一円周上にあることが示された.
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