| 題意から x[2]=x[1] x[3]=x[2]-r^2 x[4]=x[3] x[5]=x[4]+r^4 … 同様に y[2]=x[1]+r y[3]=y[2] y[4]=y[3]-r^3 … 同様に考えるとx[n],y[n]に対し、次の漸化式が成立します。 x[2k]=x[2k-1] (A) x[2k+1]=x[2k]+{(-1)^k}r^(2k) (B) y[2k+1]=x[2k] (C) y[2(k+1)]=y[2k+1]+{(-1)^k}r^(2k+1) (D) (但しk=1,2,..) (A)(B)(C)(D)を (x[1],y[1])=(1,0) (x[2],y[2])=(1,r) の下で解きます。 x[n]だけ求めますので参考にしてy[n]は自分で求めてください。
(A)(B)より x[2k+1]=x[2k-1]+{(-1)^k}r^(2k) ∴x[2k-1]=X[k] と置くと X[k+1]=X[k]+{(-1)^k}r^(2k) ∴X[k]=X[1]+納j=1〜k-1]{(-1)^j}r^(2j) =X[1]+納j=1〜k-1](-r^2)(-r^2)^(j-1) =X[1]+(-r^2){1-(-r^2)^(k-1)}/(1+r^2) (∵)0<r<1ゆえr≠1 =1+(-r^2){1-(-r^2)^(k-1)}/(1+r^2) (∵)X[1]=x[1]=1 ∴(A)より x[2k]=x[2k-1]=1+(-r^2){1-(-r^2)^(k-1)}/(1+r^2)
(要するにnが奇数か偶数かで場合分けが必要ということです。)
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