| 2007/03/01(Thu) 14:09:34 編集(投稿者)
余りスマートな方法ではないことをあらかじめ断っておきます。
△ABCに対して余弦定理より cos∠ABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB・BC)=(16+9-4)/24 =7/8 (A) cos∠BAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB・AC)=(16+4-9)/16 =11/16 (B) (B)より cos∠BAD=cos((π-∠BAC)/2+∠BAC) =-sin(∠BAC/2) =-√{(1-cos∠BAC)/2}(∵)半角の公式 =-√{(1-11/16)/2} =-(1/8)√10 (C) sin∠BAD=√{1-(cos∠BAD)^2} =(3/8)√6 (D) (A)より sin∠ABC=√{1-(cos∠ABC)^2} =(1/8)√15 (E) よって sin∠ADB=sin(π-∠ABC-∠BAD) =sin(∠ABC+∠BAD) =sin∠ABCcos∠BAD+cos∠ABCsin∠BAD =-(1/8)√15(1/8)√10+(7/8)(3/8)√6 =-(5/64)√6+(21/64)√6 =(1/4)√6 (F) 一方△ABDに対して正弦定理により AB/sin∠ADB=AD/sin∠ABC (G) (G)に(E),(F),AB=4を代入すると 4/{(1/4)√6}=AD/{(1/8)√15} ∴AD=4{(1/8)√15}/{(1/4)√6} =2√(5/2) =√10
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