□投稿者/ ウルトラマン 一般人(35回)-(2006/12/22(Fri) 23:56:21)
 | ともこさん，こんばんわ．
> xz平面上の曲線z=x^2(|x|≦2)をｚ軸のまわりに回転させてxyz空間にできる回転体の容器を考える。
> (1)この容器の体積を求めよ。
これはサービス問題です． 軸の回転体の体積なので，
となります．
> (2)この容器に水を満たし半径１の鉄球を沈めていく。鉄球が容器の壁に接触して
> 安定したとき、鉄球の中心のz座標を求めよ。
これは， 平面で切ったときの状態を考えましょう．すると，鉄球の中心の座標を) とおくと，鉄球の切断面（円）の方程式は，
^{2}%20=%201
)
と書けますから，これと
より， を消去して，
^{2}%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20
z^{2}-(2a-1)z+(a^{2}-1)=0
)
となり，鉄球と放物面が接するための必要十分条件は，これが の範囲に重回をもつことであるから，
^{2}-4(a^{2}-1)=0%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow
%20a>%5cfrac{1}{2},%5cquad%20-4a=-5%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow
%20a=%5cfrac{5}{4}
)
よって，鉄球の中心の座標は，
)
となります．
> (3)鉄球により容器の底に閉じ込められた水の部分の体積を求めよ。
(2)のとき，円と放物線の接点の座標は，
^{2}=0%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20
%20z=%5cfrac{3}{4}
)
であるから，求める体積は，
^{2}-%5cleft(z-%5cfrac{5}{4}%5cright)^{2}%5cright%5c}dz%20%5c%5c
=%5ccdots%5ccdots
)
ってな感じで求めればよいです．
>
> どのようにすればよいのでしょうか？？
> どなたかお願いします。
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