 | ■No12172に返信(１浪生さんの記事)
因数分解をする方法
b^3/{(a-b)(b-c)}+c^3/{(b-c)(c-a)}+a^3/{(c-a)(a-b)}
通分して
{b^3(c-a)+c^3(a-b)+a^3(b-c)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
分子をaについて整理すると＝(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+(b^3c-c^3b)
＝(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
｛｝内をｂについて整理すると
＝(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ca)b-(c^2a-a^3)}
＝(b-c)(c-a){b^2+cb-a(c+a)}
｛｝内をcについて整理すると
＝(b-c)(c-a){-(a-b)c-(a^2-b^2)}
＝-(b-c)(c-a)(a-b)(c+a+b)
ゆえに 与式＝-(a+b+c)
多項式を利用する方法
f(x)=b^3{(a-x)(x-c)}/{(a-b)(b-c)}+c^3{(b-x)(x-a)}/{(b-c)(c-a)}
+a^3[(c-x)(x-b)}/{(c-a)(a-b)}
を考えると、f(x)は2次式で、f(a)=a^3,f(b)=b^3,f(c)=c^3 です。
一方
g(x)＝(x-a)(x-b)(x-c)-x^3 も2次式でf(a)=a^3,f(b)=b^3,f(c)=c^3 です。
したがって
f(x)=g(x) このx^2の係数を比較すると、
与式＝-(a+b+c)
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