![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | bad-boysさん,こんばんわ.
> ある地方では雨が降った日の翌日に雨が降る確率は60%、雨が降らなかった日の翌日に雨が降る確率は30パーセントであるという。今日雨が降っているとき、n日後も雨が降る確率p(n)を求めよ. > > 自分の解答 > > n日後も雨が降るのは、n-1日後にも雨が降ってn日後にも雨が降る場合とn-1日後に雨が降らないでn日後に雨が降る場合が考えられるから、
この考え方は,あってますよ.
> > P(n)=3/5P(n-1)+3/10P(n-1)=・・・ >
ただし,上記漸化式が間違っています.ただしくは, 「 日後に雨が降る」のは (A)「 日後に雨が降って, 日後にも雨がふる」 (B)「 日後に雨が降らないで, 日後に雨が降る」 の2つの場合があり,(A)(B)は互いに排反であるから,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
p_{n}%20=%20%5cfrac{3}{5}p_{n-1}+%5cfrac{3}{10}(1-p_{n-1}),%20%5cquad%20p_{1}=%5cfrac{3}{5}
) となります.後は,上記漸化式を解いて,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
p_{n}=%5cfrac{3}{10}p_{n-1}+%5cfrac{3}{10}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20p_{n}-%5cfrac{3}{7}=%5cfrac{3}{10}%5cleft(p_{n-1}-%5cfrac{3}{7}%5cright)
)
は初項 ,公比 の等比数列であるから,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
p_{n}-%5cfrac{3}{7}=%5cfrac{6}{35}%5cleft(%5cfrac{3}{10}%5cright)^{n-1}%20%5c%5c
%5ctherefore%20p_{n}%20=%20%5cfrac{3}{7}+%5cfrac{6}{35}%5cleft(%5cfrac{3}{10}%5cright)^{n-1}
) となります.
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