![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | あこさん,こんばんわ.
> (x・a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2≦1 > の体積を求める問題で、 > x=au,y=bv,z=cwとして > u^2+v^2+w^2≦1で極座標を使って計算しました。 > だけど、答えが(4/3)πになってしまい、 > 解答は(4/3)abcπなんです。 > 教えてください!
えぇ〜と,求める体積を とすると, は3重積分の形で,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
V%20=%20%5ciint_{(x/a)^{2}+(y/b)^{2}+(z/c)^{2}%5cleq%201}%20dxdydz
) と書けます.この3重積分を計算するために,あこさん,やっているように
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%5cfrac{x}{a}%20=%20u,%20%5cfrac{y}{b}=%20v,%20%5cfrac{z}{c}%20=%20w%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20x%20=%20au,%20y=bv,%20z=cw
) とおくと,変数変換 のヤコビアンは なので,
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dxdydz%20=%20abcdudvdw
) となります.よって
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V%20=%20%5ciint_{u^{2}+v^{2}+w^{2}%5cleq%201}abcdudvdw%20%5c%5c
=abc%5ciint_{u^{2}+v^{2}+w^{2}%5cleq%201}dudvdw
) さらに,積分変数 を
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x=r%5csin%20%20%5ctheta%5ccos%20%20%5cphi,%20y=r%5csin%20%20%5ctheta%5csin%20%20%5cphi,%20z=r%5ccos%20%20%5ctheta,
(0%5cleq%20r%5cleq%201,%200%5cleq%20%5ctheta%5cleq%20%5cpi,%200%5cleq%5cphi%5cleq%202%5cpi)
) のように球面極座標に変換すると,
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dxdydz%20=%20r^{2}%5csin%20%20%5ctheta%20drd%5ctheta%20d%5cphi
) であるから,
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V%20=%20abc%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}d%5ctheta%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5cphi%20r^{2}%5csin%20%20%5ctheta%20%5c%5c
=abc%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}r^{2}dr%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}%5csin%20%20%5ctheta%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5cphi%20%5c%5c
=%5cfrac{4}{3}%5cpi%20abc
) となります.
> > x^2/3+y^2/3+z^2/3≦a^2/3 > の体積を求める問題もわからないので > おしえてください。
これは,
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%5cfrac{x^{2}}{3}+%5cfrac{y^{2}}{3}+%5cfrac{z^{2}}{3}%5cleq%20%5cfrac{a^{2}}{3}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cfrac{x^{2}}{a^{2}}+%5cfrac{y^{2}}{a^{2}}+%5cfrac{z^{2}}{a^{2}}%5cleq%201
) と同値変形してやれば,上の結果が使えて,
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%5cfrac{4}{3}%5cpi%20a^{3}
) ですね.
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