![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | すみません.途中解答の状態で投稿してしまいました.
定食大盛りさん,こんばんわ. >[1]1つのサイコロを20回投げるとき、1の目が何回出る確率が最も大きいか。 の目が 回出る確率を とすると,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%20
P(k)%20%5c%5c%20=_{20}C_{k}%5cleft(%5cfrac{5}{6}%5cright)^{20-k}%5cleft(%5cfrac{1}{6}%5cright)^{k}%20%5c%5c%20=%20%5cfrac{20!}{k!(20-k)!}%5cleft(%5cfrac{5}{6}%5cright)^{20}%5cleft(%5cfrac{1}{5}%5cright)^{k}%20
) であるから,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cfrac{P(k+1)}{P(k)}%20%5c%5c
=%20%5cfrac{1}{5}%5cfrac{k!(20-k)!}{(k+1)!(19-k)!}%20%5c%5c
=%20%5cfrac{1}{5}%5ccdot%20%5cfrac{20-k}{k+1}
) よって,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cfrac{P(k+1)}{P(k)}%20>%201%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%2020-k>k+1%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%202k<19%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20k<%5cfrac{19}{2}%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20k=0,1,2,%5ccdots,%209
) また,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cfrac{P(k+1)}{P(k)}%20>%201%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20k<%5cfrac{19}{2}%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20k=10,11,12,%5ccdots,20
) であるから,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
P(0)<P(1)<P(2)<%5ccdots%20<%20P(10)%20>%20P(11)>P(12)>%5ccdots%20>P(19)>P(20)
) となり, の目が 回出るときの確率が最大となる.
>[2]白球5個、赤球n個が入っている袋がある。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、白球と赤球が1個ずつである確率をPnとする。Pnを最大にするnの値を求めよ。
個の球を同時に取り出す場合の数は,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
_{n+5}C_{2}=%5cfrac{(n+5)(n+4)}{2}
) 通りあり,これらは同様に確からしい.
このうち,白球と赤球が 個ずつ取り出される場合の数は,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
5%5ctimes%20n%20=%205n
) 通りであるから,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
P(n)%20%5c%5c
=%20%5cfrac{5n}{%5cdisplaystyle%5cfrac{(n+5)(n+4)}{2}}%20%5c%5c
=%20%5cfrac{10n}{(n+5)(n+4)}
)
あとは,(1)と同様にして,不等式:
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cfrac{P(n+1)}{P(n)}>1
) を満たす自然数 ,ならびに,不等式:
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cfrac{P(n+1)}{P(n)}<1
) を満たす自然数 wを考えれば, がいくつのときに が最大になるかは分かるかと思います.
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