![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/coara.gif) | 2006/09/27(Wed) 22:15:20 編集(投稿者)
■No17627に返信(カーコさんの記事) > 以下の定理の証明の仕方がわからなくて困っています。わかる方お願いします。 > > 定理 n次正方行列Aのn個の列ベクトルの組が一次独立であれば行列Aは正則である。
とする。
が、他の列ベクトルと一次従属(一次独立ではない)又は、ゼロベクトルとすと、
… @
となる実数 〜 が存在する。(0 も含む)
とすると、
、 :単位行列
単位行列は、対角成分が 1 で他は 0 より、
… A
… B
に@を代入すると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cvec{a_1}%5ccdot%5cvec{b_1}%20=%20c_2%5cvec{a_2}%5ccdot%5cvec{b_1}%20+%20c_3%5cvec{a_3}%5ccdot%5cvec{b_1}%20+%20%5ccdot%5ccdot%5ccdot%20+%20c_2%5cvec{a_n}%5ccdot%5cvec{b_1})
Bより、
、 、…、![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cvec{a_n}%5ccdot%5cvec{b_1}%20=%200)
よって、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cvec{a_1}%5ccdot%5cvec{b_1}%20=%200) これは、Aに反する。
が、他の列ベクトルと一次従属とすと、逆行列 は存在せず、 は正規行列ではない。(逆行列が存在することは、正規行列の必要十分条件)
したがって、(対偶により)命題は正しい。
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