■17373 / inTopicNo.3) |
Re[1]: 最小二乗平面
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□投稿者/ 青海 一般人(49回)-(2006/09/15(Fri) 00:06:41)
![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/coara.gif) | 2006/09/15(Fri) 20:58:31 編集(投稿者) 2006/09/15(Fri) 20:57:19 編集(投稿者)
平面の式を とする。
, , を標本データとし、 が の誤差を含んでいるとすると、
が最小になるように , , を定める。
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cleft{z_k'-%20(ax_k'%20+%20by_k'%20+%20c)%5cright}^2%20=%20{z_k'}^2%20+%20a^2{x_k'}^2%20+%20b^2{y_k'}^2%20+%20c^2%20-%202ax_k'z_k'%20-%202by_k'z_k'%20-%202cz_k'%20+%202abx_k'y_k'%20+%202bcy_k'%20+%202cax_k')
, , とし、
とする。
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$S%20=%20X^2a^2%20+%20Y^2b^2%20+%20nc^2%20+%202XYab%20+%202Ybc%20+%202Xca%20-%202XZa%20-%202YZb%20-%202Zc%20+%20Z^2)
は、 , , についての二次関数なので、極値が最小値となる。それぞれについて偏微分すると、
… @
… A
… B
Bより、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$c%20=%20%5cfrac{Z%20-%20Xa%20-%20Yb}{n})
(平均値と読み替えてください)より、
、 、 として、 @、Aに代入すると、式が出ると思います。
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