| 結果的には,中線と角の二等分線が一致することが言えるのですが,それ自体を示しましょう.
△ABCを考えます.内心をI,重心をGとします. ・∠Aの二等分線とBCの交点をDとすると,IはAD上にある. ・BCの中点をMとすると,GはAMを2:1に内分する.
ここで,DとMが異なると仮定します.(←つまり背理法を行います) IとGが一致することから,ADとAMの交点がIであり,Gである. 実際,ADとAMの交点はAとなるが,GはAMを2:1に内分することから,GがAと一致することはありえない. 従って,IとGが一致するなら,DとMは同じ点. DとMが同じ点のとき,△ABCは,AB=ACを満たす二等辺三角形となる.
Bについて同じことを行うとBA=BCなので,△ABCは正三角形になる.
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