![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | 2010/08/17(Tue) 18:36:46 編集(投稿者) 2010/08/17(Tue) 18:33:02 編集(投稿者)
は、次のような行列を使った2次形式という形に表すことができます。
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{c}
x%20&%20y%20&%20z%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccc}
3%20&%201%20&%201%20%5c%5c
1%20&%203%20&%201%20%5c%5c
1%20&%201%20&%203%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{c}
x%20%5c%5c%20y%20%5c%5c%20z%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
=%20a
)
ここで、列ベクトルを 、真ん中の行列を とすると、この式は、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2${}^{t}%20X%20M%20X%20=%20a) と表されます。 この真ん中の行列 は対称行列なので、必ず対角行列にできることが保障されています。(これについては、線形代数の教科書をご覧ください) 実際、 の固有値を求めると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%20|
%5cbegin{array}{ccc}
(%5clambda%20-%203)%20&%20-%201%20&%20-%201%20%5c%5c
-%201%20&%20(%5clambda%20-%203)%20&%20-%201%20%5c%5c
-%201%20&%20-%201%20&%20(%5clambda%20-%203)%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20|
=
(%5clambda%20-%204)%20(%5clambda%20-%203)%20(%5clambda%20-%202)%20=%200) より、すべて正の固有値、 となります。 これら3つの固有値に対する固有ベクトルを並べた行列 を使って とすると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2${}^{t}(U%20Y)%20M%20(U%20Y)%20=%20{}^{t}%20Y%20%5c{%20{}^{t}%20U%20M%20U%20%5c}%20Y%20=%20{}^{t}%20Y%20%5cLambda%20Y%20=%20a) という形に書くことができます。 ここで、 の関係があります。 対角行列 は、固有値の大きい順に並べたものとすると、この問題では、 となります。 つまり、 とすると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{c}
%5cxi%20&%20%5ceta%20&%20%5czeta%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccc}
4%20&%200%20&%200%20%5c%5c
0%20&%203%20&%200%20%5c%5c
0%20&%200%20&%202%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{c}
%5cxi%20%5c%5c%20%5ceta%20%5c%5c%20%5czeta%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
=
4%20%5cxi^2%20+%203%20%5ceta^2%20+%202%20%5czeta^2%20=%20a
) という形で表されるわけですが、これは楕円の式( )を3次元に拡張したものになっていることがわかると思います。
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