■42370 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 線形代数の問題です。
|
□投稿者/ tokoro 付き人(63回)-(2010/08/13(Fri) 00:51:19)
![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | 2010/08/13(Fri) 00:56:33 編集(投稿者)
まず、像 の階数を求めると、これは表現行列 の階数と同じであり、階数は基本変形を施して求めます。(行基本変形)
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
7%20&%207%20&%2035%20&%208%20&%2045%20%5c%5c
1%20&%202%20&%207%20&%201%20&%207%20%5c%5c
7%20&%207%20&%2035%20&%206%20&%2039%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5c%20%5cto%20%5c%20
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
(7%20-%207)%20&%20(7%20-%200)%20&%20(35%20-%2021)%20&%20(8%20-%207)%20&%20(45%20-%2035)%20%5c%5c
(1%20-%201)%20&%20(2%20-%200)%20&%20(7%20-%203)%20&%20(1%20-%201)%20&%20(7%20-%205)%20%5c%5c
(7%20-%207)%20&%20(7%20-%200)%20&%20(35%20-%2021)%20&%20(6%20-%207)%20&%20(39%20-%2035)%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
=
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
0%20&%207%20&%2014%20&%201%20&%2010%20%5c%5c
0%20&%202%20&%204%20&%200%20&%202%20%5c%5c
0%20&%207%20&%2014%20&%20-%201%20&%204%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
)
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cto%20%5c%20
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
0%20&%201%20&%202%20&%201/7%20&%2010/7%20%5c%5c
0%20&%202%20&%204%20&%200%20&%202%20%5c%5c
0%20&%201%20&%202%20&%20-%201/7%20&%204/7%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5c%20%5cto%20%5c%20
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
0%20&%201%20&%202%20&%201/7%20&%2010/7%20%5c%5c
0%20&%20(2%20-%202)%20&%20(4%20-%204)%20&%20(0%20-%202/7)%20&%20(2%20-%2020/7)%20%5c%5c
0%20&%20(1%20-%201)%20&%20(2%20-%202)%20&%20(-%201/7%20-%201/7)%20&%20(4/7%20-%2010/7)%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
=
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
0%20&%201%20&%202%20&%201/7%20&%2010/7%20%5c%5c
0%20&%200%20&%200%20&%20-%202/7%20&%20-%206/7%20%5c%5c
0%20&%200%20&%200%20&%20-%202/7%20&%20-%206/7%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
%5c%20%5cto%20%5c%20
%5cleft%20(
%5cbegin{array}{ccccc}
1%20&%200%20&%203%20&%201%20&%205%20%5c%5c
0%20&%201%20&%202%20&%201/7%20&%2010/7%20%5c%5c
0%20&%200%20&%200%20&%20-%202/7%20&%20-%206/7%20%5c%5c
0%20&%200%20&%200%20&%200%20&%200%20%5c%5c
%5cend{array}
%5cright%20)
) より、階数は3なので、3つの基底が選べます。
表現行列 から基底として、次の3つを元に、グラム・シュミットの方法で正規直交基底を作ります。
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$u_{1}%20=%20(1,%20%5c%207,%20%5c%201,%20%5c%207),%20%5c%20u_{2}%20=%20(0,%20%5c%207,%20%5c%202,%20%5c%207),%20%5c%20u_{3}%20=%20(5,%20%5c%2045,%20%5c%207,%20%5c%2039))
まず、 を正規化すると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$e_{1}%20=%20%5cfrac{1}{10}%20(1,%20%5c%207,%20%5c%201,%20%5c%207)) となります。
次に、 の に直交する部分を作ると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$U_{2}%20=%20u_{2}%20-%20(u_{2}%20%5ccdot%20e_{1})%20e_{1}%20=%20(-%201,%20%5c%200,%20%5c%201,%20%5c%200)) となるので、これを正規化すると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$e_{2}%20=%20%5cfrac{1}{%5csqrt{2}}%20(-%201,%20%5c%200,%20%5c%201,%20%5c%200)) となります。
同様に、 の と の両方に直交する部分を作ると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$U_{3}%20=%20u_{3}%20-%20%5c{%20(u_{3}%20%5ccdot%20e_{1})%20e_{1}%20+%20(u_{3}%20%5ccdot%20e_{2})%20e_{2}%20%5c}%20=%20(0,%20%5c%203,%20%5c%200%20%5c%20-%203)) となるので、これを正規化すると、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$e_{3}%20=%20%5cfrac{1}{%5csqrt{2}}%20(0,%20%5c%201,%20%5c%200,%20%5c%20-%201)) となります。
この3つ、 が正規直交基底です。
|
|