| 2010/02/06(Sat) 07:46:43 編集(投稿者)
非常に面白い問題ですね。
sin6θ =Im(cos6θ+isin6θ) =Im(cosθ+isinθ)^6 から六倍角の公式を作ります。 cosθ=c, sinθ=sとすると sin6θ=6cs^5-20c^3s^3+6c^5s
ゆえ、 y=6cs^5-20c^3s^3+6c^5s-4s+1 です。
ここにsin^2θ+cos^2θ-1=0を拘束条件として極値を考えます。
ラグランジュの未定乗数法を用いて f(s,c,λ)=6cs^5-20c^3s^3+6c^5s-4s+1-λ(s^2+c^2-1) 連立方程式 ∂f/∂s=0 ∂f/∂c=0 ∂f/∂λ=0 を解けば極値が求まりますので、この値をもとのyに代入して選ぶと終わりです。 θはarcsinかarccosを使えば表せます。
この方法を使えば何倍角の場合でも求まりますね。
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