| 2009/05/14(Thu) 17:02:47 編集(投稿者)
(1) f(x)=2√x-logx と置いてx≧1におけるf(x)の増減を調べましょう。
(2) g(n)=log{(1+n)^(1/n)} を考えると g(n)=(1/n)log(1+n)<2(1/n)√(1+n) (A) (∵)(1)の結果より 一方 g(n)>0 (B) (A)(B)より 0<g(n)<2√(1/n^2+1/n) ∴はさみうちの原理から lim[n→∞]g(n)=0 となるので lim[n→∞](1+n)^(1/n)=lim[n→∞]e^g(n)=1 となります。
(3) これもはさみうちの原理を使います。 y=sinxのグラフと、このグラフ上の点(0,0),(π/2,1)を結んだ直線 y=2x/π との位置関係を比較することにより0≦x≦π/2において 2x/π≦sinx≦1 ∴0≦θ≦π/2において (2+2θ/π)^n≦(2+sinθ)^n≦(2+1)^n=3^n となるので ∫[0→π/2]{(2+sinθ)^n}dθ=I(n) とすると ∫[0→π/2]{(2+(2/π)θ)^n}dθ<I(n)<∫[0→π/2](3^n)dθ (A) (A)の各辺の積分を計算すると {(π/2)/(n+1)}{3^(n+1)-2}<I(n)<(π/2)3^n ∴I(n)^(1/n)=J(n) とすると [{(π/2)/(n+1)}{3^(n+1)-2}]^(1/n)<J(n)<3(π/2)^(1/n) 問題の等式の左辺は lim[n→∞]J(n) と等しくなりますので、後は lim[n→∞]3(π/2)^(1/n)=3 (B) lim[n→∞][{(π/2)/(n+1)}{3^(n+1)-2}]^(1/n)=3 (C) であることを確かめます。 (B)は見たまんまですが、(C)については(2)の結果を使えるように変形すれば、 導け出せます。 ({3^(n+1)-2}から3^nをくくり出してみましょう。)
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