![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | 数学勉強者さん,こんばんわ。
> x=2sinθ-cosθ+2,y=sinθ+2cosθ-3によってあらわされる点(x,y)はどのような軌跡を描くか。 > > sinθ,cosθを消去してx,yの関係式を得たいのですが、、、 > sinθ^2+cos^2θ=1などを使って解くのでしょうか… > > アドバイスください。
軌跡の問題は「同値変形」を十分に意識して解く必要があります。同値変形を意識せずに適当にパラメータを消去しただけでは,軌跡の限界を追求することができず,結局いつまでたっても軌跡の問題を完璧に解けるようにはなりません。
この問題の場合は,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
(*)%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
x%20=%202%5csin%20%20%5ctheta%20-%20%5ccos%20%20%5ctheta%20+%202%20%5c%5c
y%20=%20%5csin%20%20%5ctheta%20+%202%5ccos%20%20%5ctheta%20-%203
%5cend{array}
%5cright.
) を満たす実数 が存在するような点 の集合を求めることになります。そこで, を同値変形すると,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
(*)%5cLongleftrightarrow
%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
2%5csin%20%20%5ctheta%20-%20%5ccos%20%20%5ctheta%20=%20x-2%20%5c%5c
%5csin%20%20%5ctheta%20+%202%5ccos%20%20%5ctheta%20=%20y+3
%5cend{array}
%5cright.%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%5cleft(
%5cbegin{array}{cc}
2%20&%20-1%20%5c%5c
1%20&%202
%5cend{array}
%5cright)%5cleft(
%5cbegin{array}{l}
%5ccos%20%20%5ctheta%20%5c%5c
%5csin%20%20%5ctheta
%5cend{array}
%5cright)=%5cleft(
%5cbegin{array}{l}
x-2%20%5c%5c
y+3
%5cend{array}
%5cright)%5c%5c
%5cLongleftrightarrow
%5cleft(
%5cbegin{array}{l}
%5ccos%20%20%5ctheta%20%5c%5c
%5csin%20%20%5ctheta
%5cend{array}
%5cright)
=%5cfrac{1}{5}%5cleft(
%5cbegin{array}{cc}
2%20%20&%201%20%5c%5c
-1%20&%202
%5cend{array}
%5cright)%5cleft(
%5cbegin{array}{l}
x-2%20%5c%5c
y+3
%5cend{array}
%5cright)%5c%5c
%5cLongleftrightarrow
%5ccos%20%20%5ctheta%20=%20%5cfrac{1}{5}(2x+y-1),%5cquad%20%5csin%20%20%5ctheta=%5cfrac{1}{5}(-x+2y+5)
) だから, を満たす実数 が存在するための条件は,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%5c{%5cfrac{1}{5}(2x+y-1)%5cright%5c}^{2}+%5cleft%5c{%5cfrac{1}{5}(-x+2y+5)%5cright%5c}^{2}=1%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20(2x+y-1)^{2}+(-x+2y+5)^{2}=25%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5ccdots
) となります。
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