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■34435
/ inTopicNo.1)
2重積分
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□投稿者/ まい
一般人(5回)-(2008/07/19(Sat) 20:44:42)
∬(D) (x^(2)+y^(2))dxdy
(D={(x,y) l (x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))≦1}
を解けという問題なのですが、
x=arcosθ
y=brsinθと置いてrの範囲を調べると、-1≦r≦1
となったのですが合ってますでしょうが?
これを用いて最後まで計算すると、(π/4)ab(a^(2)+b^(2))と答えにはあるんですが0になってしまうんです;
どなたか分かる方いましたら、ご教授お願いします;
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■34442
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 2重積分
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□投稿者/ grin
一般人(33回)-(2008/07/19(Sat) 22:07:12)
rの範囲を0≦r≦1 とし、θの範囲を0≦θ≦2π
としましょう。
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■34444
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 2重積分
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□投稿者/ まい
一般人(6回)-(2008/07/19(Sat) 22:16:51)
返信ありがとうございます!!
rの範囲なのですが、最初に与えられているDの範囲に、
それぞれx=arcosθとy=brsinθを代入するとr^(2)となりますよね?
これが、r^(2)≦1となって、
r^(2)=1
r=±1となるのですが、なぜ0≦r≦1という範囲になるんですか?;
宜しくお願いします。
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■34446
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 2重積分
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□投稿者/ grin
一般人(34回)-(2008/07/19(Sat) 22:58:34)
言葉では少し説明しにくいのですが、
例えば
x^2+y^2≦1 を考え、x=rcosθ、y=rsinθ とおくことにします。
このとき例えば、(x,y)=(0,1)に対応する(r,θ)の組を考えると(0≦θ≦2π)、
0≦r≦1にした場合は、(r,θ)=(1,π/2)と一意に決まりますが、
-1≦r≦1にすると、(r,θ)=(1,π/2),(-1,3π/2)となり、重複してしまいます。
したがって0≦r≦1とします。
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■34447
/ inTopicNo.5)
Re[4]: 2重積分
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□投稿者/ まい
一般人(7回)-(2008/07/19(Sat) 23:17:25)
ということは、"重複"してしまうからrの範囲を0からにするってことでしょうか??
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■34448
/ inTopicNo.6)
Re[5]: 2重積分
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□投稿者/ grin
一般人(35回)-(2008/07/19(Sat) 23:28:01)
そういうことになりますね。
0≦r≦1、0≦θ≦2π で半径1の円内の全ての点を表すことが出来るので、
これ以外の範囲の条件は不要です。
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■34450
/ inTopicNo.7)
Re[6]: 2重積分
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□投稿者/ まい
一般人(8回)-(2008/07/20(Sun) 00:26:03)
なるほど!
もしこの問題以外にもまた重複する問題があったら、範囲は0から考えればいいのでしょうか?
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■34451
/ inTopicNo.8)
Re[7]: 2重積分
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□投稿者/ grin
一般人(36回)-(2008/07/20(Sun) 00:48:02)
積分範囲が通常の円や楕円等であればrの範囲は0からで問題ないと思います。
しかしこれはご理解頂けると思いますが、積分範囲が円の真ん中がくりぬかれた
ドーナツ型になっていたりする場合はrの範囲は0からではなくなりますし、
θの範囲がいつでも0〜2πではないことにはご注意下さい。
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■34452
/ inTopicNo.9)
Re[8]: 2重積分
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□投稿者/ まい
一般人(9回)-(2008/07/20(Sun) 00:55:23)
丁寧なご説明ありがとうございました。
理解することができました^^
解決済み!
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