| 2008/06/03(Tue) 08:45:06 編集(投稿者)
1/√(1-tanx)=t と置くと tanx=1-1/t^2 dx/(cosx)^2=-2dt/t^3 ∴dx=-2dt/{(t^3){1+(1-1/t^2)^2}} 整理して dx=-2tdt/{t^4+(t^2-1)^2} ∴∫ydx=-2∫{(t^2)/{t^4+(t^2-1)^2}}dt ここで t^4+(t^2-1)^2=2t^4-2t^2+2=2(t^2+1)^2-4t^2 ={(t^2+1)√2-2t}{(t^2+1)√2+2t} =2(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1) ∴∫ydx=-∫{(t^2)/{(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)}}dt (P)
(t^2)/{(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)}=(at+b)/(t^2-t√2+1)+(ct+d)/(t^2+t√2+1) と部分分数分解できるとすると、右辺を通分したとき (右辺の分子)=(at+b)(t^2+t√2+1)+(ct+d)(t^2-t√2+1) =(a+c)t^3+(b+d)t^2+(a-c)(t^2)√2+(b-d)t√2+(a+c)t+b+d =(a+c)t^3+{(b+d)+(a-c)√2}t^2+{(b-d)√2+(a+c)}t+b+d ∴係数比較すると a+c=0 (A) (b+d)+(a-c)√2=1 (B) (b-d)√2+(a+c)=0 (C) b+d=0 (D) (A)(D)より(B)(C)は (a-c)√2=1 (B) (b-d)√2=0 (C) ∴(a,b,c,d)=(1/(2√2),0,-1/(2√2),0) よって(P)は ∴∫ydx={1/(2√2)}[∫{t/{(t^2+t√2+1)}dt-∫{t/{(t^2-t√2+1)}dt] ={1/(2√2)}{(1/2)log{(t^2+t√2+1)/(t^2-t√2+1)} +arctan(-1+t√2)-arctan(1+t√2)}+C (P)' (C:積分定数) A=arctan(-1+t√2)-arctan(1+t√2) と置くと tanA=-2/t^2 dA/dt=1/(t^2-t√2+1)-1/(t^2+t√2+1) =2t/{(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)} lim[t→±∞]A=0 ∴-π/2≦A<0 よって A=-arctan(2/t^2) となるので ∫ydx={1/(2√2)}{(1/2)log{(t^2+t√2+1)/(t^2-t√2+1)}-arctan(2/t^2)}+C (P)' tを元に戻すと (t^2+t√2+1)/(t^2-t√2+1)=(1/t^2+(1/t)√2+1)/(1/t^2-(1/t)√2+1) ={2-tanx+√(2-2tanx)}/{2-tanx-√(2-2tanx)} ∴∫ydx={1/(4√2)}log[{2-tanx+√(2-2tanx)}/{2-tanx-√(2-2tanx)}] -{1/(2√2)}arctan(2-2tanx)+C となります。(計算間違いがありましたらごめんなさい。)
|