![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | ririさん,こんばんわ.
線積分の定義に従って計算するだけです,つまり,曲線 がパラメータ によって,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
x=x(t),%20y=y(t),%20a%5cleq%20t%5cleq%20b
) と表されるとき, 上での線積分を
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%5cdisplaystyle%5cint_{C}%20f(x,y)dx%20+%20g(x,y)dy%20%5cequiv%20%5cdisplaystyle%5cint_{a}^{b}%5cleft(f(x,y)%5cfrac{dx}{dt}+g(x,y)%5cfrac{dy}{dt}%5cright)dt
) と定義する.もっと詳しい説明は,お手持ちの大学の解析学の教科書を参考にしてください.
この定義に従って,計算すると,
> ∫(c)x^2dx+2xydy > c:(1,1)から(−1,3)へ直線で結んだもの
をパラメータ表示すると,
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x(t)=1-t,y(t)=1+t,0%5cleq%20t%5cleq%202
) ですから,
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dx=-dt,%20dy=dt
) となり,
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%5cdisplaystyle%5cint_{C}%20x^{2}dx+2xydy%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}%20(1-t)^{2}(-1)dt%20+%202(1-t)(1+t)dt%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}%20{(1-2t+t^{2})+2(1-t^{2})}dt%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}%20(-t^{2}-2t+3)dt%20%5c%5c
=[-%5cfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}+3t]_{0}^{2}%20%5c%5c
=-%5cfrac{2}{3}
) > > ∫(c)xydx+e^(x^2)dy > c:y=x^2、方向:(0,0)→(2,4)
をパラメータ表示すると,
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x(t)=t,%20y(t)=t^{2},%200%5cleq%20t%5cleq%202
) ですから,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
dx%20=%20dt,%20dy=2tdt
) となり,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cdisplaystyle%5cint_{C}%20xydx%20+%20e^{x^{2}}%20dy%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}(t^{3}dt+e^{t^{2}}2tdt)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}(t^{3}+(e^{t^{2}})')dt%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{4}t^{4}+e^{t^{2}}]_{0}^{2}%20%5c%5c
=4+e^{4}-e^{0}%20%5c%5c
=e^{4}+3
)
> > もうひとつわからないのがあります。 > これは線積分を重積分に帰着させて解く問題です。 >
これもお手持ちの大学の解析学の教科書を開いて,まずはグリーンの定理とはどういものをかを確認しましょう.
以下,簡単に書くと次のようになります. 【グリーンの定理】
の境界が有限個の正則曲線からなり, が を含む開集合で 球であるならば,
ただし, は の境界を表し正の向きが付けられているとする.
> ∫(c)(e^x+y)dx+(y^4+x^3)dy > c:単位円を時計の反対回りに一周 > グリーンの定理を使うと思うんですけど、 > できません。。 > 教えてください!
このグリーンの定理に従えば,
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%5cdisplaystyle%5cint_{C}(e^{x}+y)dx%20+%20(y^{4}+x^{3})dy%20%5c%5c
=%5ciint_{D}(3x^{2}-1)dxdy
) ただし, は によって囲まれた領域で,
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x^{2}+y^{2}%5cleq%201
) この重積分を計算するために, を次のような平面極座標に変換する:
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x=r%5ccos%20%20%5ctheta,%20y=r%5csin%20%20%5ctheta,%200%5cleq%20%5ctheta%5cleq%202%5cpi,%200%5cleq%20r%5cleq%201
) すると, のヤコビアンを計算することにより,
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dxdy%20=%20rdrd%5ctheta
) であるから,
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%5ciint_{D}(3x^{2}-1)dxdy%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20r%5ccdot(3r^{2}%5ccos%20%20^{2}%5ctheta-1)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr3r^{3}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20%5ccos%20%20^{2}%5ctheta-%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20%5c%5c
=[%5cfrac{3}{4}r^{4}]_{0}^{1}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%5cfrac{1+%5ccos%20%20%202%5ctheta}{2}-2%5cpi%20%5c%5c
=%5cfrac{3}{4}[%5cfrac{1}{2}%5ctheta+%5cfrac{1}{4}%5csin%20%20%202%5ctheta]_{0}^{2%5cpi}-2%5cpi%20%5c%5c
=%5cfrac{3}{4}%5cpi%20-%202%5cpi%20%5c%5c
=-%5cfrac{5}{4}%5cpi
) となります.
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