![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | digiさん,新年明けましておめでとうございます.
> 曲面 とx,y,z平面で囲まれる部分の体積を求めたいのですが。 > > まず、積分領域はz=0として、 とx軸、y軸で囲まれる部分でいいでしょうか?それから、曲面の式をzについての式に変形してそれを累次積分すれば求まりますよね? > > これでやるとかなり面倒なのですが、ほかにやりかたはないでしょうか?
えぇ〜と要するに,次の連立不等式で表される領域 の体積 を求めればよいわけです.
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
x%5cgeq%200,y%5cgeq%200,%20z%5cgeq%200,%5cquad%20%5csqrt{x}+%5csqrt{y}+%5csqrt{z}%5cleq%201
) そこで,領域 を平面 (ただし, )で切った時の切り口を考えると,その関係式は,
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x%5cgeq%200,%20y%5cgeq%200,%20%5csqrt{x}+%5csqrt{y}+%5csqrt{t}%5cleq%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20x%5cgeq%200,%20y%5cgeq%200,%20%5csqrt{y}%5cleq%201-%5csqrt{t}-%5csqrt{x}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20x%5cgeq%200,%200%5cleq%20y%5cleq%20(1-%5csqrt{t}-%5csqrt{x})^{2}
) であるから,切り口の面積 は,
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S(t)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{(1-%5csqrt{t})^{2}}%20(1-%5csqrt{t}-%5csqrt{x})^{2}%20dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{(1-%5csqrt{t})^{2}}%20x-2(1-%5csqrt{t})%5csqrt{x}+(%5csqrt{t}-1)^{2}%20dx%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{2}x^{2}-%5cfrac{4}{3}(1-%5csqrt{t})x^{3/2}+(%5csqrt{t}-1)^{2}x]_{0}^{(1-%5csqrt{t})^{2}}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{2}(1-%5csqrt{t})^{4}-%5cfrac{4}{3}(1-%5csqrt{t})^{4}+(1-%5csqrt{t})^{4}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{6}(1-%5csqrt{t})^{4}
)
あとは,これを から まで積分すればよく,求める体積は,
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V%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}%5cfrac{1}{6}(1-%5csqrt{t})^{4}dt
) 被積分関数を展開するのが面倒くさいので, と置換すると,
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%5csqrt{t}%20=%201-k%20%5c%5c
%5ctherefore%20t%20=%20(k-1)^{2}%20%5c%5c
%5ctherefore%20dt%20=%202(k-1)dk
) であり,積分区間は, のとき, だから,
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V%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{0}%5cfrac{1}{6}k^{4}%5ccdot%202(k-1)dk%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{3}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}k^{4}(k-1)dk%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{3}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}(k^{5}-k^{4})dk%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{3}[%5cfrac{1}{6}k^{6}-%5cfrac{1}{5}k^{5}]_{0}^{1}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{90}
) ってな感じです.
PS.そぉ〜いえば,この問題を解いてて,昔の駿台の東大実戦模試に,これをちょっと難しくした問題が出てたのを思い出しました...
【昔の駿台の東大実戦の問題】------------------------------
空間内に,次の不等式
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x%5cgeq%200,%20y%5cgeq%200,%20z%5cgeq%200,%20x^{1/3}+y^{1/3}+z^{1/3}%5cleq%201
) で表される領域 がある.領域 の体積 を求めよ. ---------------------------------------------------------- 正月のお年玉(?)として,プレゼントしますので,是非演習してみて下さい.
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