| 大変な問題ですね. かなり大変なので,かなりポイントのみの解説にさせていただきます.
まずは,(p,p-2/4)を中心とする円の内部を不等式で求めます. (x-p)^2 + (y-p^2/4)^2≦{p^2/4}^2 このあと, ⇔ (1-y/2)*p^2 -2xp +(x^2+y^2) ≦0 ⇔ (2-y)*p^2 -4xp +2(x^2+y^2)≦0 …(*)のようにpについて整理します.
ここからは,よくむずかしめの参考書には必ず載っているのですが 『pが正の範囲を動くときの(x,y)の範囲』⇔『pについての二次不等式(*)が正の解を持つときの係数(x,y)の範囲』 と見ます. f(p)=(2-y)*p^2 -4xp +2(x^2+y^2)とおきます.(ここでは,pが変数,x,yは定数と見ます)
i) y>2のとき:f(p)は上に凸の放物線になる 従って,f(p)≦0を満たすようなp>0が必ず存在する.
ii) y=2のとき:f(p)=-4xp +2x^2+8 x>0なら,(*)は-4xp+2x^2+8≦0 ⇔ p≧(x^2+4)/2x となるため,必ず(*)は正の解pを持つ x=0なら,(*)は8≦0なので,不等式を満たさない. x<0なら,(*)は-4xp+2x^2+8≦0 ⇔ p≦(x^2+4)/2x(<0)なので,(*)を満たすような正の解pは存在しない.
iii)y<2のとき:f(p)は,下に凸の放物線になる (ここからは二次関数f(p)の状況がわかっているという前提で解答します)
x≦0,つまりf(p)の軸が負なら,f(0)=x^2+y^2≧0なので,p>0でf(p)は必ず正の値をとる.従って,不等式(*)を満たさない. x>0,つまりf(p)の軸が正なら, D>0なら,(*)を満たすようなp>0が必ず存在する. D/4=4x^2+2(y-2)(x^2+y^2)≧0 ⇔ 2y^3 -4y^2+2yx^2≧0 ⇔2y*(y^2+x^2-2y)≧0 ⇔2y*{x^2 +(y-1)^2-1}≧0
従って, ・y≧0かつx^2+(y-1)^2≧0 ・y≦0かつx^2+(y-1)^2≦0 (これを満たすx,yは存在しない)
i),ii),iii)を考えると y>2の全てのx 0≦y≦2の x>0かつx^2+(y-1)^2≧0を満たす部分
となります.異常に大変です.
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