| 2005/07/04(Mon) 19:11:43 編集(投稿者) 2005/07/03(Sun) 21:57:47 編集(投稿者) 2005/07/03(Sun) 21:35:47 編集(投稿者)
部分積分をまず使って、 I=∫√(x^2+A^2)dx=x√(x^2+A^2)-∫x・2xdx/(2√(x^2+A^2) (x^2=x^2+A^2-A^2だから) = x√(x^2+A^2)-I+A^2∫dx/√(x^2+A^2) よって,I=(1/2)( x√(x^2+A^2)+ A^2∫dx/√(x^2+A^2)) あとはJ=∫dx/√(x^2+A^2)を求めればよい。 これは天下り的ですが,x+√(x^2+A^2)=tと置けば、 ・・・・・・(ここは頑張って変形してください)・・・・・ J=∫dt/t=log|t|+c=log(x+√(x^2+A^2))+c よって、I=(1/2)( x√(x^2+A^2)+A^2 log(x+√(x^2+A^2))+C
もし、双曲線関数をご存知なら、 I=∫√(x^2+A^2)dxに対して、x=Atと置いて、dx=Adt I=A^2∫√(1+t^2)dt √(1-t^2)タイプが三角なら、√(1+t^2)タイプは兄弟の双曲線で、 t=sinhyとおけば、 I=A^2∫√(1+(sinhy)^2)coshydy=A^2∫(coshy)^2dy =A^2∫(cosh(2y)+1)dy/2=A^2(sinh(2y)/4+y/2)+C =(1/2)(A^2sinhycoshy+A^2arcsinht)+C =(1/2)(x√(x^2+A^2)+A^2arcsinh(x/A))+C
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